“牵挂量子力学出身一百周年”系列：经典再现与评述

一百年前的1924年6月13日，德国哥廷恩大学的玻恩(Max Born，1882—1970)提交了一篇题为“Über Quantenmechanik”的论文，宇宙上从此有了“量子力学”一词。正如1824年卡诺的“Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance(对于火的启动才气以及施展此一才气之适应机械的念念考)”一文一出才算有了热力学，此前仅仅对于热表象与热机械的探索，在玻恩1924年论文之前以普朗克1900年的光能量量子假说为标记的物理表面，是量子表面(Quantentheorie)而非量子力学。实践上，更早把能量给予量子化的作念法见于玻尔兹曼1872年和1877年对于热的力学表面的论文。量子力学出身于今100年，宇宙列国先容和规划量子力学的发奋与水平各有不同。容笔者果敢胡言，对于科学后发地区而言，所谓的量子力学不易交融，不外是对经典力学绝不知情的别样抒发。笔者以前在大三时第一次上量子力学课，不错说等于在对经典物理绝不了解的情况下交往到量子力学的。多年后有幸读到那些量子力学创立者的文章原文，固然仍是不懂量子力学，但笔者好在显明了是因为我方不懂经典物理(还独特学、科学步伐等)的起因。有感于笔者本东说念主学习量子力学的勤苦盘曲，值此量子力学出身一百周年之际，笔者将选译几篇量子力学创飞速期的奠基性论文，比如玻恩、约当、海森堡、薛定谔、泡利、狄拉克等东说念主的，给予翻译先容，偶尔也会不揣粗俗撰写一两篇对于东说念主物与事件的评述文章，一来向创立量子力学的先辈学者致意，二来试图展现物理学发展的联结性(从莫得什么量子力学与经典力学的割裂)，三来亦然想提供原始文件，供我国粹者明白一些对于量子力学的误解。有同仁快意供稿维护，先谢为敬。

玻恩创立量子力学的论文(Max Born. Über Quantenmechanik. Zeitschrift für Physik, 1924, 26: 379—395)， 收稿日历为1924年6月13日

——中国科学院物理规划所 曹则贤

撰文 | Max Born

翻译 | 曹则贤

起头 | 选自《物理》2024年第2期

本文尝试迈出朝向耦合之量子力学的第一步，其可从原子的蹙迫性质(稳重性、跃迁频率的共振，以及对应旨趣)得到诡辩，并天然地从经典规章中生发。此一表面包含克拉默斯的色散公式，并展现出同反常塞曼效应章程的海森堡表述之间的密切相关。

1导 言

在所有触及多电子畅通的情形中(比如在氦何处)，量子表面失效的问题被一再归罪于在相应的情形中每一个电子上皆作用着一个其频率与光波处于合并量级的交换场。如今东说念主们深知原子对光波弥散是“非力学”反应的(即会被激勉出量子跃迁)，因此也就不成指望原子中的电子之间的相互作用罢黜经典力学的规章；将用量子章程补充了的经典扰动表面应用于稳态轨说念打算也会失效。只须尚未能意志光影响原子的规章，以及色散与原子结构、量子跃迁之间的相关，则东说念主们对于原子中多电子之间的相互作用之章程就老是糊里糊涂的。

最近，正是在放射与原子结构之间相关这个限制，玻尔、克拉默斯和斯拉特1)等东说念主取得了实质性的进展。在我看来，这最初在于再次在极高的进度上摆正了经典光学的位置。此一念念想的限制也体刻下如下事实，克拉默斯奏效地得到了色散公式，并讲明其得志量子表面的所有要求，非常是对应旨趣的要求2)。

针对此事可作如是想，由克拉默斯如斯奏效地应用于光场和被映照电子之间相互作用的念念考难说念不不错相应地延迟到原子中的多电子间相互作用吗？对克拉默斯色散公式的凝视启发咱们在扰能源学系统的一般性质中去找寻他所经受过的量子化(Quantisierung)。本文中的职责等于践行这个想法的尝试3)。

咱们试着将对于对力学体系由加入里面耦合或者外场合引起之扰动的经典规章表述成与从经典力学到“量子力学”的体式过渡相配接近的那样的信服体式。如斯量子章程将以实践上不变的相貌得到保留，未扰动系统(假定其是可分离变量的、非退化的)的作用积分以作用量子h的倍数出现4)。与此相对，力学则有所改变，即在由玻尔频率条目所展示的意旨上从微分方程过渡到差分方程。在非退化体系的偶然情形中，由此引起苟且性的可能性不错排斥。

此一新“量子力学”与老量子章程的联结导向的相互作用规章，其最初应该禁受如下教练，即是否包含克拉默斯的色散公式。限制照实如斯，且由此也赢得用于其他规划之基础。

最初应念念考海森堡所构造的反常塞曼效应的表面体式，其与咱们的几条预设之间的相关跃但是出。天然不成指望此地方征询的通向耦合系统之量子力学的初步(限制)就包括海森堡的量子才气，因为多重态和塞曼效应的特征是纠缠的退化{见译后注}。暂且为多重态公式构造一个准经典的替代模子，此(多重态)公式与此处为最偶然情形所缔造的量子力学章程之间的体式类比明晰地标明，量子章程触及了耦合历程的实质。

咱们的缔造耦合之量子力学的尝试有好多优点，那正是展现原子性质如稳重性、跃迁频率的共振以及得志对应旨趣等等所需要的。其(正确性)是否照实有保证，不错由偶然系统的定量打算来考证。为此，一些源于退化之多种可能性的非常大的远程还要克服。

2置于外力之下系统的经典扰动表面

咱们对此一类似限制感到舒畅。

公式(14)、(16)区分默示里面耦合和外力的影响。若唯有前者在，如前所述，可偶然地令ν0=0，即可得到扰动表面的公式。要津的是，当有周期性外场时，此公式除了在(ντ)中加入ν0τ0之外是不变的。

3经典色散表面

作为例子，咱们考察单色、线偏振的光波对未扰动系统的影响。电矢量平行于x-轴振动：

式(21)与式(24)，就对光频率ν0的依赖而言，有共振公式的典型形态，如同在经典色散表面中总出现的那样；共振点是本征频率以及所有的倍频6)。

4向量子表面过渡

刻下尝试达成从经典公式向量子表面的过渡。

为此，咱们要哄骗玻尔、克拉默斯和斯拉特等东说念主在所引述的职责中引入的为量子跃迁赋予频率的直不雅抒发；咱们的念念路与这一表面的决定性的亦然充满争议的认识构造，如能量与动量滚动的概率刻画，无关。

把柄玻尔(的不雅点)，每一个稳态皆佩戴一串“虚的”振子，其向其它稳态过渡的频率对应如下的频率条目

振子的实在的(量子论的)频率是对应的(经典的)频率的“直线”平均值。换种说法，ν(n+τ,n)和(ντ)自H0的构造章程{在两种语境中的}阐扬如同微分商相对于差分商。

刻下考察耦合历程，其在替代模子中是用扰动函数λH1默示的。基于此将虚振子四肢实在的、本原的，是在经典打算步伐顶用于实在的量子章程之感性探知的援手器具，由此得到如下视力：

耦合阐扬为虚振子间的相互影响(放射)。为了找到此一影响的章程，东说念主们考察对于模子畅通的倍频的对应章程。为此要找寻扰动能的默示，其中能量以倍频重量之和的体式出现。

咱们的基本公式(16a)正巧可达成该主张。公式如频率(ντ)有雷同的体式，把柄式(27)可默示为

要证据一下。其只出刻下外场扰动的场合，在里面耦合的情形中不出现。应该假定，对C0不消选用进一步的量子化历程。这一(量子化)程式刻下对所有情形皆建设。

5克拉默斯的色散表面

克拉默斯最近在Nature上发表的色散公式(见前)此处哄骗雷同的量子化历程，此历程已就扰动能量详备解释过，由§2中的公式(24)给出。咱们得到光场在处于稳态nk的振子上产生的电极矩为

6退化与久期扰动

哄骗咱们的公式(33)，对所有非退化体系扰动的直到λ的二阶项的打算可归于奈何信服对应

靠的学问而在所有实践的蹙迫问题中却皆出现退化的形态。因为耦合会引起退化变量的久期畅通，于是咱们要问，这些问题量子表面该奈何惩办？

此处咱们只考察最偶然的情形，望望扰动打算默示是否对合理的量子化有所启发。

将非退化变量用目的α,β,…默示，退化变量用ρ,σ,…默示。

最偶然的情形是这么的，

为了对情况详加证据，不错筹议海森堡10)用以默示多重态和反常塞曼效应的公式。不外，具体经受的是一个极大简化了的替代模子，即原子由原子实和电子(或者多个电子)构成，构成部分在能源学意旨上只可用其动弹角动量矢量的大小和标的象征。海森堡假定两种不同的偏离经典章程的形态：1.他引入了一个原子实、电子和磁场间的交换作用能H(kl)，不错“经典地”打算，但作了小窜改，即原子实的拉莫进动是经典表面中的两倍，而量子数J,R,K1,K2…，区分属于原子的总角动量j，原子实的角动量r，电子的角动量k1,k2…，不错取半整数。2.他从这个准经典的H(kl)哄骗某种平均历程构造了量子的H(qu)；对于电子各以所选拔的坐标不错写成如下体式：

若这么的交融是正确的(刻下很难回答)，容易类比得出论断，雷同的历程老是可应用于二阶的久期扰动(55式)。

咱们舒畅地标明，从一般量子力学的不雅点来看，如海森堡所经受的对于量子积分的那些步伐构造是天然的、绝不拼凑的。

译者注

1.本文是据笔者所知第一篇对于“量子力学”的论文，其内容不出无意是引入了量子化条目的经典力学，它触及的是经典力学之最细腻的部分。读者如嗅觉交融有远程，可参阅V. I. Arnold,Mathematical Methods of Classical Mechanics(GTM 60)之第10章也即其临了一章。

2.德语的Störung,对应英文的perturbation,汉译“微扰”,其中的“微”字是扭曲。Störung, perturbation是扰动，可小可大，小的扰动一般是要通过加形容词强调的。此处译为“扰动”。

3.Entartung,degeneration，真义是“退化”，是一个在生物学和数学中相配悠久的认识。“简并”的译法，我瞎猜哈，是把柄量子力学中多个能级有疏通的能量(哈密顿算符的矩阵有多个本征矢量对应疏通的本征值)的情形而构造的，与原词的字面真义无关。在量子力学的语境中，Entartung指希尔伯特空间中有对应合并能量的子空间，是一种退化活动。“简并”的译法，给数学和物理学的华文传播带来不少困惑，比如“简并半导体”就让东说念主恍隐约惚。此处一概译为“退化”。

4.作家用脚注形态所给的参考文件是原文照录，其中可能会妨碍文件检索的部分，比如连词“und”会被用逗号替代。

5.原文有些地方可能是排版不实，会以{}中的译者注的形态加以证据。

注：

1) N. Bohr, H. A. Kramers, J. C. Slater, ZS. f. Phys.24, 69, 1924.

2) H. A. Kramers, Nature113, 673, Nr. 2845, 10. Mai 1924.

3) 一个偶然的契机让我和玻尔先生评论过本文的内容，这对认识的明白极有匡助。此外，对海森堡先生的诸多提议和打算上的匡助，我衷心感恩。

4) 对于受扰动的系统，其解为纠缠的，一般来说不是倍周期的，不消界说作用积分。

5) 因为H显含t，故必须也设定一个依赖于t，也即ω00，的函数S，并引入新的哈密顿函数W代替H。

6) P. Epstein 曾用不同的形态借助扰动打算惩办过色散表面(ZS. f. Phys.9,92, 1922)。

7) R. Ladenburg, ZS. f. Phys.4, 451, 1921. 另参考 R. Ladenburg, F. Reiche,

Die Naturwissenschaften11, 584, 1923.

8) 见 M. Born，W. Pauli jr., ZS. f. Phys.10, 137, 1922; 参见公式(24), (25),(26), S. 151.

9) M. Born, W. Heisenberg, Ann. d. Phys. [4]74, 1, 1924.

10) 见前边的评释。

本文经授权转载自微信公众号“中国物理学会期刊网”，原标题为《“牵挂量子力学出身一百周年”系列：经典再现与评述》。

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